2019년06월15일 7번
[과목 구분 없음] 중실축에 굽힘모멘트 M=100Nㆍm와 비틀림모멘트 T=100√3Nㆍm를 동시에 작용할 때 최대전단응력은 최대주응력의 몇 배인가 ?
- ① 2/5배
- ② 2/3배
- ③ 1/√3배
- ④ 1/√5배
(정답률: 63%)
문제 해설
중심축에 대한 모멘트 of inertia는 원형 단면의 경우 I = πr^4/4 이다. 따라서 M = (I/ r) * τ_max - T/(2A) 로부터 최대전단응력 τ_max는
τ_max = (M/I) * r + T/(2A) = (100/π) * r^3 + (100√3)/(2πr^2)
로 구할 수 있다.
이 식을 최소화하기 위해 τ_max를 r로 미분하면
dτ_max/dr = (300/π) * r^2 - (100√3)/(πr^3) = 0
r^5 = (3/√3) * (1/π)
r = (3/√3)^(1/5) * π^(1/5) ≈ 1.28
따라서 최대전단응력은
τ_max = (100/π) * (1.28)^3 + (100√3)/(2π(1.28)^2) ≈ 57.7 N/㎟
최대주응력은 σ_max = τ_max/2 + √(τ_max^2/4 + (M/A)^2) 이다. 여기서 M/A = (100/π) * r 이므로
σ_max = τ_max/2 + √(τ_max^2/4 + (M/A)^2) = 28.9 + √(28.9^2 + 100^2) ≈ 128.5 N/㎟
따라서 최대전단응력은 최대주응력의 약 2/3배이다. 이는 최대전단응력이 최대주응력에 비해 상대적으로 작기 때문이다.